第1章 問題

1. $a$を定数として，$x$，$y$，$z$の速度成分が \[ u=ax, \quad v=ay,\quad w=-2az \] で与えられるとき，流線を求めよ． 解答


2. 二次元流れにおいて，$x$，$y$方向の速度成分$u$，$v$が \begin{align*} u=ax+by, \quad v=cx+dy \end{align*} で表されるとき，次の条件を求めよ．
   1. $u$，$v$が連続の方程式を満足する条件
   2. 流れが渦なしであるための条件
   ただし，$a$，$b$，$c$，$d$は定数である． 解答


3. 定常な非圧縮性流れにおいて，連続の式は円筒座標$r$，$\theta$，$z$を用いて \begin{align*} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r) +\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} +\frac{\partial v_z}{\partial z} =0 \end{align*} とあらわされることを導け．ここに$v_r，v_\theta，v_z$は$r，\theta，z$方向 の速度成分である． 解答


4. 流線に沿った一次元のオイラーの運動方程式は，重力場において \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} +V\frac{\partial V}{\partial s} =g\cos\alpha-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} \end{align*} とあらわされることを導け． ここに，$s$は流線に沿って測った長さ，$t$は時間，$V$は流線に沿う速度， $\alpha$は重力の加速度$g$と流線のなす角度である． 解答

   



5. 前問の一次元のオイラーの運動方程式を流線に沿って積分すれば，つぎの非定常 のベルヌーイの式が導かれることを示せ．ここに$z$は鉛直上方を正とする． \begin{align*} \frac{p}{\rho}+gz+\frac{1}{2}V^2 +\int_0^s\frac{\partial V}{\partial t}\mbox{d}s=\mbox{const.} \end{align*} 解答


6. 流体が重力場で静止状態にあるとき，高さ$z$の位置の圧力を$p^\prime$とすれ ば，$p^\prime$と$z$との間にどのような関係式が成立するか？　つぎに重力場 における流体の運動においては，圧力$p$を静止状態の値$p^\prime$から測るこ ととし，$p-p^\prime=p^*$とおけば，ベルヌーイの式は \begin{align*} p^*+\frac{1}{2}\rho V^2=\mbox{const.} \end{align*} となり，重力の影響を形式的に除外できることを示せ． 解答


7. 重力場において一定の角速度$\varOmega$で鉛直軸のまわりに回転する座標系で， 回転軸からの距離を$r$，相対速度を$V$，高さを$z$とするとき，ベルヌーイの 式は \begin{align*} p+\rho gz -\frac{1}{2}\rho\varOmega^2r^2+\frac{1}{2}\rho V^2 =\mbox{const.} \end{align*} と表されることを導け．つぎに流体が相対的静止（相対的つりあい）の状態にあ るときの圧力を$p^\prime$とし，$p-p^\prime=p^*$とおけば，ベルヌーイの式は \begin{align*} p^*+\frac{1}{2}\rho V^2=\mbox{const.} \end{align*} となり，遠心力および重力の影響を形式的に除外できることを示せ． 解答


8. 半径$r$における接線方向速度$v_\theta$がつぎの式で与えられる円運動は，渦 運動か，渦なし運動か？　ただし，$k, \omega$は定数である． 解答
   1. 自由渦 $v_\theta=k/r$
   2. 強制渦（forced vortex）$v_\theta=\omega r$


9. 速度$V$，直径$d$の円形断面の噴流が平板に垂直に当たるとき，平板の受ける力 $F$を求めよ. 解答

   



10. 断面積$\sigma$，方向変化角度$180^\circ$の曲り管内を速度$V$で流体が流れる とき，曲り管に働く力$F$を求めよ．ただし流体の粘性にもとづく圧力降下はな く，管内いたるところで圧力は一定で$p$に等しいと仮定する． 解答