第1章 問題7 解答

コリオリ力は，角速度$\boldsymbol{\omega}$，速度$\boldsymbol{V}$を用いて \begin{equation} -2(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{V})=-2([0, 0, \varOmega]\times[u, v, w])=[2\varOmega v, -2\varOmega u, 0] \end{equation} ここに，$\, \times\, $はベクトル積を，$\, [\quad ,\quad ,\quad ]\, $はベクトルを示す．

遠心力は，回転軸からの距離$\boldsymbol{r}$，角速度$\boldsymbol{\omega}$を用いて \begin{equation} -\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}) =-[0, 0, \varOmega]\times([0, 0, \varOmega]\times[x, y, 0]) = [x\varOmega^2, y\varOmega^2, 0] \end{equation} したがって，回転座標系におけるオイラーの運動方程式は \begin{eqnarray} u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial zx}&=&-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+2\varOmega v+x\varOmega^2\label{eq:ex}\\ u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}&=&-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}-2\varOmega u+y\varOmega^2\label{eq:ey}\\ u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial w}&=&-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g\label{eq:ez} \end{eqnarray} 運動方程式を流線に沿って積分するので，\eqref{eq:ex}$\times\mbox{d}x$，\eqref{eq:ey}$\times\mbox{d}y$，\eqref{eq:ez}$\times\mbox{d}z$の操作をし，流線の式 \begin{equation} \frac{\mbox{d}x}{u}=\frac{\mbox{d}y}{v}=\frac{\mbox{d}z}{w} \quad \mbox{or} \quad v\mbox{d}x=u\mbox{d}y,\quad w\mbox{d}y=v\mbox{d}z,\quad u\mbox{d}z=w\mbox{d}x \end{equation} を用いて，運動方程式を書き直す． \begin{eqnarray} u\frac{\partial u}{\partial x}\mbox{d}x+u\frac{\partial u}{\partial y}\mbox{d}y+u\frac{\partial u}{\partial z}\mbox{d}z&=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u^2}{\partial x}\mbox{d}x+\frac{\partial u^2}{\partial y}\mbox{d}y+\frac{\partial u^2}{\partial z}\mbox{d}z \right)\nonumber\\&=& -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}\mbox{d}x+2\varOmega v\mbox{d}x+x\varOmega^2\mbox{d}x\label{eq:exx}\\ v\frac{\partial v}{\partial x}\mbox{d}x+v\frac{\partial v}{\partial y}\mbox{d}y+v\frac{\partial v}{\partial z}\mbox{d}z&=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v^2}{\partial x}\mbox{d}x+\frac{\partial v^2}{\partial y}\mbox{d}y+\frac{\partial v^2}{\partial z}\mbox{d}z\right)\nonumber\\ &=& -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}\mbox{d}y-2\varOmega u\mbox{d}y+y\varOmega^2\mbox{d}y\label{eq:eyy}\\ w\frac{\partial w}{\partial x}\mbox{d}x+w\frac{\partial w}{\partial y}\mbox{d}y+w\frac{\partial w}{\partial z}\mbox{d}z&=& \frac{1}{2}\left( \frac{\partial w^2}{\partial x}\mbox{d}x+\frac{\partial w^2}{\partial y}\mbox{d}y+\frac{\partial w^2}{\partial z}\mbox{d}z\right)\nonumber\\ &=&-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}\mbox{d}z-g\mbox{d}z \label{eq:ezz} \end{eqnarray} 式\eqref{eq:exx}，\eqref{eq:eyy}，\eqref{eq:ezz}の和をとれば \begin{equation} \frac{1}{2}\mbox{d}(V^2)=-\frac{1}{\rho}\mbox{d}p-g\mbox{d}z+\frac{1}{2}\mbox{d}(r^2\varOmega^2) \end{equation} 積分して次式が得られる．ただし，流線上で成立する． \begin{equation} p+\rho gz-\frac{1}{2}\rho\varOmega^2r^2+\frac{1}{2}\rho V^2=\mbox{const.} \end{equation}

回転座標系における静水圧$p^{\prime}$は \begin{equation} p^{\prime}=-\rho gz+\frac{1}{2}\rho \varOmega^2 r^2 \end{equation} となるから，流水圧$をp^*=p-p^{\prime}$とおき，ベルヌーイの式に代入すれば \begin{equation} p^*+\frac{1}{2}\rho V^2=\mbox{const.} \end{equation} が得られる．