第1章 問題5 解答

全問で導いた一次元のオイラーの運動方程式をすべての項を左辺に移項する．

\begin{equation} \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}-g\, \cos\, \alpha+V\frac{\partial V}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}=0 \label{eq:euler} \end{equation} 流線に沿って$\mbox{d}s$だけ移動すると$\mbox{d}z$降下する．図より， \begin{equation} \mbox{d}z=-\mbox{d}s,\quad \mbox{or}\quad \cos\, \alpha = -\frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}s} \end{equation} また， \begin{equation} V\frac{\partial V}{\partial s}=\frac{1}{2}\frac{\partial V^2}{\partial s} \end{equation} これらを考慮して式\eqref{eq:euler}を流線に沿って$s=0$から$s$まで積分する． \begin{equation} \int^s_0\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}+g\, \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}s}+\frac{1}{2}\frac{\partial V^2}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}\right)\mbox{d}s=0 \end{equation} これより \begin{equation} \frac{1}{\rho}(p-p_0)+g(z-z_0)+\frac{1}{2}(V^2-V_0^2)+\int_0^s\frac{\partial V}{\partial t}\mbox{d}s=0 \end{equation} すなわち， \begin{equation} \frac{p}{\rho}+g\, z+\frac{1}{2}V^2+\int_0^s\frac{\partial V}{\partial t}\mbox{d}s=\frac{p_0}{\rho}+g\, z_0+\frac{1}{2}V_0^2 \end{equation} ただし，非圧縮性流れ（$\rho=\mbox{const.}$）としている．右辺は定数であるから \begin{equation} \frac{p}{\rho}+g\, z+\frac{1}{2}V^2+\int_0^s\frac{\partial V}{\partial t}\mbox{d}s=\mbox{const.} \end{equation}