第4章 問題

1. 渦度$\omega$の$x$, $y$, $z$方向の成分を$\xi$, $\eta$, $\zeta$ とするとき次の式が成立することを示せ． 解答 \[ \frac{\partial\xi}{\partial x}+ \frac{\partial\eta}{\partial y}+ \frac{\partial\zeta}{\partial z}=0 \]


2. 半径$a$, 単位長さあたりの強さ$\varGamma$の渦輪の中心を通り，渦輪 に垂直な直線上で，渦輪から距離$x$の誘導速度を求めよ（図4.14）． 解答

   



3. 点$\mathrm{A}(-a,0)$に強さ$\varGamma$の直線状渦糸が，点 $\mathrm{B}(a,0)$に強さ$-\varGamma$の直線状渦糸ある．等ポテンシャ ル線および流線はいずれも円群で与えられること，および線分 $\overline{\mathrm{AB}}$の垂直二等分線は流線となることを示せ（図4.15）． 解答

   



4. 直線壁から距離$h$の位置に強さ$\varGamma$の直線状渦糸がある．渦糸 の運動を説明せよ． 解答


5. 無限に広い静止流体中に，原点を中心とする半径$a$の円があり，その外 部の点$\mathrm{A}(l,0)$に直線状渦糸が，鏡像の点 $\mathrm{B}(a^2/l,0)$に強さ$-\varGamma$の直線状渦糸がある．
   1. 上記の円は流線となることを示せ．
   2. 前記の円が固体境界のとき，円の内部渦糸Bの運動を説明せよ．
   3. 前記の円が固体境界であって，そのまわりに強さ$\, \varGamma^\prime\, $ の循環があるとき，円の外の渦糸Aの運動を説 明せよ（図4.16）． 解答

   



6. $z$平面上の点$\mathrm{A}(-a,0)$に強さ$\varGamma$の直線状渦糸が， $\mathrm{B}(a,0)$に強さ$-\varGamma$の直線状渦糸が固定されている． いま$y$軸の負の方向に速度$V$の一様流が加えられたとき，$y$軸上によ どみ点が存在するための条件を求めよ．また，よどみ点が存在するとき その座標を求め，よどみ点を通る流線の式を求めよ（図4.17）． 解答

   



7. 無限に広い静止流体中に，強さ$\varGamma_k(k=1, 2, \dots, n)$の$n$ 個の直線状渦糸がそれぞれ点$(x_k, y_k)$に存在するとき，$j$番目の渦 糸の運動方程式は \[ u_j\left(=\frac{d x_j}{d t}\right) =-\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1,\, k\ne j}^{n}\frac{\varGamma(y_j-y_k)}{r_{kj}^2} ,\quad v_j\left(=\frac{d y_j}{d t}\right) =\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1,\, k\ne j}^{n}\frac{\varGamma(x_j-x_k)}{r_{kj}^2} \] で与えられることを示せ．ただし， $r_{kj}=[(x_k-x_j)^2+(y_k-y_j)^2]^{1/2}$． 解答


8. 直交する二つの直線壁$x=0$，$y=0$で囲まれた$x\ge0$，$y\ge0$なる領 域に，強さ$\varGamma$の直線状渦糸がある．渦糸に誘導される速度成分 を求めよ．つぎにこの渦糸は \[ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\text{const.} \] で表される経路に沿って動くことを示せ（図4.18）． 解答

   　



9. 風のある日に直径2mmの送電線が振動している音を発生している．風速 $10$m/sであるとし，振動の周波数を求めよ．ただし空気の動粘度 $15\times10^{-6}\mathrm{m}^2/s$（$20^\circ\mathrm{C}$）とする． 解答


10. 強風下で旗がはためく理由を定性的に説明せよ． 解答