第4章 問題7 解答

題意の直線状渦糸による複素速度ポテンシャル$\, W\, $は \begin{equation} W=\sum_{k=1}^n-\frac{i\varGamma_k}{2\pi}\log(z-z_k) \end{equation} 複素共役速度は \begin{equation} \frac{\mbox{d}W}{\mbox{d}z} =u-iv=\sum_{k=1}^n-\frac{i\varGamma_k}{2\pi}\frac{1}{z-z_k} =\sum_{k=1}^n-\frac{i\varGamma_k}{2\pi}\frac{1}{(x-x_k)+i(y-y_k)} =\sum_{k=1}^n-\frac{i\varGamma_k}{2\pi}\frac{(x-x_k)-i(y-y_k)} {(x-x_k)^2+(y-y_k)^2} \end{equation} $\, j\, $番目の渦の位置に誘起する速度$\, (u_j,v_j)$は，渦は自分自身には速度を誘起しないことを考慮して \begin{eqnarray} u_j\left(=\frac{\mbox{d}x_j}{\mbox{d}t}\right)&=&-\frac{1}{2\pi} \sum_{k=1,\, k\ne j}^{n}\frac{\varGamma_k(y_j-y_k)}{(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2} ,\quad v_j\left(=\frac{\mbox{d}y_j}{\mbox{d}t}\right)&=&\frac{1}{2\pi} \sum_{k=1,\, k\ne j}^{n}\frac{\varGamma_k(x_j-x_k)}{(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2} \end{eqnarray}