第4章 問題5 解答

1. 中心が$\, (0,0)\, $，半径が$\, a\, $の円が流線であること，すなわち，流れ関数が一定の条件が，この円の方程式 \begin{equation} x^2+y^2=a^2 \end{equation} を満たすことを示せばよい．

   $\, (a^2/l,0)\, $に$-\varGamma$の渦，$\, (l,0)\, $に$\varGamma$の渦があるので，複素速度ポテンシャル$\, W\, $は \begin{eqnarray} W&=&-\frac{i\varGamma}{2\pi}\log(z-l) +\frac{i\varGamma}{2\pi}\log\left(z-\frac{a^2}{l}\right)\\ &=&-\frac{i\varGamma}{2\pi}\log(r_1e^{i\theta_1}) +\frac{i\varGamma}{2\pi}\log(r_2e^{i\theta_2})\nonumber\\ &=&-\frac{i\varGamma}{2\pi}\left\{\log\left(\frac{r_1}{r_2}\right) +i(\theta_1-\theta_2)\right\}\nonumber\\ &=&\frac{\varGamma}{2\pi}(\theta_1-\theta_2) -i\frac{\varGamma}{2\pi}\log\left(\frac{r_1}{r_2}\right) \end{eqnarray} 複素速度ポテンシャルの実部は速度ポテンシャル$\, \varPhi\, $，虚部は流れ関数$\, \varPsi\, $であるので， \begin{equation} \varPhi=\frac{\varGamma}{2\pi}(\theta_1-\theta_2),\quad \varPsi=-\frac{\varGamma}{2\pi}\log\left(\frac{r_1}{r_2}\right) \end{equation} 円と$\, x\, $軸との交点に注目すると \begin{equation} \frac{r_1}{r_2}\Bigg|_{x=a,\, y=0}=\frac{l-a}{a-a^2/l}=\frac{l}{a} \end{equation} 両辺を二乗して \[ \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\frac{(x-l)^2+y^2}{(x-a^2/l)^2+y^2} =\left(\frac{l}{a}\right)^2\\ (x-l)^2+y^2=\left(\frac{l}{a}\right)^2 \left\{\left(x-\frac{a^2}{l}\right)^2+y^2\right\}\\ x^2-2lx+l^2+y^2=\left(\frac{l}{a}\right)^2 \left\{x^2-2\frac{a^2}{l}x +\left(\frac{a^2}{l}\right)^2+y^2\right\}\nonumber\\ \] 整理すれば， \begin{equation} x^2+y^2=a^2 \end{equation} となる．証明終り．



2. 前記の円が固体境界で，$\, B\, $点に渦糸がある場合，前問から$\, A\, $点が鏡像の位置になる．鏡像渦糸の強さは$\, \varGamma\, $であり，$\, B\, $点に壁と平行に$\, \varGamma/\{2\pi(l-a^2/l)\}\, $の速度を誘起する．したがって，各瞬間，渦糸は常に壁と平行に移動するから，渦糸$\, B\, $は周速 \begin{equation} v_\theta=-\frac{\varGamma}{2\pi(l-a^2/l)}, \quad \omega=\frac{v_\theta}{a^2/l}=-\frac{\varGamma l^2}{a^2(l^2-a^2)} \end{equation} の等速円運動をする．


3. 前記(a)より，渦糸$\, A\, $の鏡像位置は$\, B\, $点である．この渦糸は円の固体壁に平行に$\, \varGamma/\{2\pi(l-a^2/l)\}\, $の速度を誘起する．したがって，各瞬間，渦糸$\, A\, $は常に壁と平行に移動するから周速$\, \varGamma/\{2\pi(l-a^2/l)\}\, $で時計方向の等速円運動をする．これに，円の固体壁まわりに循環$\, \varGamma^\prime\, $の流れを加えるには，原点に$\, \varGamma+\varGamma^\prime\, $の渦糸を配置する．この渦糸は，$\, A\, $に常に壁と平行で速度$\, (\varGamma+\varGamma^{\prime})/(2\pi l)\, $の半時計方向の等速円運動を誘起するから，$\, A\, $の渦糸は，周速$\, v_\theta\, $，角速度$\, \omega\, $ \begin{equation} v_\theta=\frac{\varGamma+\varGamma^{\prime}}{2\pi l}-\frac{\varGamma}{2\pi(l-a^2/l)},\quad \omega=\frac{\varGamma+\varGamma^\prime}{2\pi}-\frac{\varGamma}{2\pi(l^2-a^2)} \end{equation} の等速円運動をする．