第4章 問題2 解答

流れは$\, x\, $軸に関して軸対称である．いま渦輪の要素$\, \mbox{d}s\, $を含む子午面を考える（右図参照）．渦輪は$\, x\, $軸に直角な$\, y-z\, $面にあるから，式(4.5)における$\, \theta\, $は$\, 90^\circ\, $である．また，$\, \mbox{d}s=a\mbox{d}\psi \, $とおけるので， \begin{equation} \mbox{d}V=\frac{\varGamma}{4\pi r^2}a\mbox{d}\psi \end{equation} である． 渦輪全体から誘起される速度の$\, x\, $方向成分$\, u\, $は \begin{equation} u=\int \mbox{d}V\sin\alpha=\int_0^{2\pi}\frac{\varGamma}{4\pi r^2}\frac{a}{r}a\mbox{d}\psi =\frac{\varGamma a^2}{2r^3}=\frac{\varGamma a^2}{2(x^2+a^2)^{3/2}} \end{equation}