第6章 問題
- 垂直衝撃波前後の圧力と密度の間には，等エントロピ流れにおける関係
式$d p/d \rho=\gamma p/\rho=a^2$に対応して
\[
\frac{p_2-p_1}{\rho_2-\rho_1}=\gamma\frac{p_2+p_1}{\rho_2+\rho_1}=a^{*2}
\]
の関係があることを示せ．
解答
- 垂直衝撃波前後面のマッハ数をそれぞれ$M_1$および$M_2$とすれば，
\[
M_2^2=\left[1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2\right]\Big/\left[\gamma M_1^2
-\frac{\gamma-1}{2}\right]
\]
が成立することを示せ．
解答
- 出口断面積$A_\mathrm{E}$と最小断面積$A_\mathrm{T}$と
の比$A_\mathrm{E}/A_\mathrm{T}=2$のラバール管において，垂直衝撃波
がちょうど出口断面に発生したとするときの出口背圧
$\hat{p}_\mathrm{E}$と貯気槽圧$p_0$との比$\hat{p}_\mathrm{E}/p_0$
を求めよ．ただし比熱比$\gamma=1.40$とする．
解答
- マッハ数$M_\infty$の一様な亜音速流中におかれたプラントル型ピトー
管の全圧（よどみ点圧）を$p_0$，静圧孔の指示圧力を$p_\infty$（一様
流の静圧を正しく指示しているものとする）とすれば
\[
c= \frac{p_0-p_\infty}{\rho_\infty U^2/2}
=
1+\frac{1}{4}M_\infty^2+\frac{2-\gamma}{24}M_\infty^4
+\frac{(2-\gamma)(3-2\gamma)}{192}M_\infty^6+\cdots
\]
と表現されることを示せ．ここに，$\rho_\infty$，$U$はそれぞれ一様流
の密度および速度である．非圧縮性流れでは$p_0=p_\infty+(1/2)U^2$と
なるから，これは圧縮性流れにおけるピトー管の補正を与える．$U$
の相対誤差$(=\sqrt{c}-1)\times100$%で表されるが，$M=0.7$では真の流速
は非圧縮性流体とみなした流体より約$6$%少なくなる．
解答