第6章 問題1 解答

テキスト63頁 \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\dot{m}u_1+\frac{\gamma}{\gamma-1}p_1 &=&\frac{1}{2}\frac{\gamma+1}{\gamma-1}\rho_1a^{*2}\label{eq:1}\\ \frac{1}{2}\dot{m}u_2+\frac{\gamma}{\gamma-1}p_2 &=&\frac{1}{2}\frac{\gamma+1}{\gamma-1}\rho_2a^{*2}\label{eq:2} \end{eqnarray} 式\eqref{eq:1}において$\, \dot{m}=\rho_2u_2\, $，式\eqref{eq:2}において$\, \dot{m}=\rho_1u_1\, $とおいて，両式の和を採れば， \[ \frac{1}{2}(\rho_2+\rho_1)u_1u_2+\frac{\gamma}{\gamma-1}(p_1+p_2) =\frac{1}{2}\frac{\gamma+1}{\gamma-1}(\rho_1+\rho_2)a^{*2} \] $\, a^{*2}=u_1u_2\, $なる関係を用いて変形すれば， \begin{eqnarray} \frac{\gamma}{\gamma-1}(p_1+p_2) &=&\frac{1}{2}\left(\frac{\gamma+1}{\gamma-1}-1\right)(\rho_1+\rho_2)a^{*2} \nonumber\\ &=&\frac{1}{\gamma-1}(\rho_1+\rho_2)a^{*2}\nonumber \end{eqnarray} ゆえに， \begin{equation} \gamma\frac{p_1+p_2}{\rho_1+\rho_2}=a^{*2} \end{equation} 証明終り